[Ứng dụng Toán] Làm sao để phát hiện vị trí phát ra tiếng động trên xe tải?

Nhân dịp tham dự một workshop thú vị, cũng như việc nhận được một vài câu hỏi về ứng dụng của Toán học, mình xin nêu một ví dụ sau, mà theo mình là rất có ý nghĩa.

(Bài viết này dựa trên sự hợp tác với K. Pieper, P. Trautmann và D. Walter)

Một công ti chuyên sản xuất xe tải chạy đường dài đang gặp một rắc rối. Đó là khi cho chạy thử xe thì xe phát ra những tiếng động khác thường. Các kĩ sư của công ti đã thử sử dụng kinh nghiệm nhưng vẫn không phát hiện được ra bộ phận nào phát ra tiếng động đó. Đương nhiên là không thể tháo từng bộ phận ra kiểm tra được (mà có tháo ra cũng không biết kiểm tra bằng cách nào, vì chỉ có để trên xe chạy thì mới phát ra tiếng động).

[Có thể đến đây sẽ có nhiều người có ý tưởng thú vị về làm cách nào để tìm ra những chỗ gây ra tiếng động này]

Chúng ta sẽ thấy được một cách tiếp cận Toán học để giải quyết vấn đề này ngay sau đây. [Xin được nhấn mạnh rằng đây không phải là một vấn đề giả tưởng đưa ra bởi các nhà toán học, bởi như bản thân mình vừa mới gặp (rất tình cờ) một anh bạn người Ý làm về cơ khí kỹ thuật (mechanical engineering) thì anh ấy đang muốn giải quyết chính xác vấn đề này, đương nhiên là đối với loại động cơ khác chứ không nhất thiết phải là xe tải]

Quay lại bài toán xe tải, để xác định các vị trí gây tiếng động, người ta lắp một số microphone tại một số vị trí trong xe tải và cho xe tải chạy một quãng đường. Khi xe chạy phát ra tiếng động thì các microphone này sẽ thu lại được tần số và biên độ của các âm thanh phát ra.

Bài toán bây giờ đặt ra như sau, với các tần số và biên độ nhận được từ các microphone, làm cách nào để tìm được các vị trí phát ra tiếng động?

Mô hình toán học của bài toán này như thế nào?

Ta biết rằng sóng âm thỏa mãn phương trình sóng

\boxed{p_{tt} - c^2\Delta p = f(t)} + điều kiện biên

trong đó p là biên độ âm, c là vận tốc sóng âm còn f là nguồn phát sóng âm. Ta có thể giả sử (tự nhiên) rằng chỉ có một vài chỗ gây ra tiếng động của xe, do đó nguồn phát có dạng

\boxed{f(t,x) = u(t)\delta_{x^*}}

ở đó \delta_{x} là hàm Dirac tại điểm x (ở đây để cho đơn giản ta giả sử chỉ có một điểm gây ra tiếng động, trường hợp nhiều điểm hơn có thể giải quyết tương tự). Hơn thế nữa, vì chuyển động của xe có thể coi như là chuyển động đều nên nguồn sóng sẽ là tuần hoàn theo thời gian, do đó có thể viết nguồn sóng dưới dạng

\boxed{u(t) = \sum_{i=1}^{N}\mathrm{Re}(u_n\mathrm{exp}(i\omega_n t))}

trong đó \omega_n là các tần số mà microphone thu được.

Bây giờ sử dụng biến đổi Fourier theo biến thời gian cho phương trình sóng ban đầu với tần số \omega_n tương ứng ta nhận được phương trình Helmholtz như sau

\boxed{-\omega_n^2 p_n - c^2\Delta p_n = u_n(t)\delta_{x^*}} + điều kiện biên

Gỉa sử rằng ta thu được biên độ tại điểm x_k, k=1,2,\ldots, Kp_d^k, k=1,2,\ldots,K. Khi đó bài toán xác định điểm x^* sẽ được đưa về bài toán điều khiển tối ưu sau

\boxed{min_{x^*\in \Omega, u\in \mathbb{C}^N}\left(\dfrac 12 \sum_{k=1}^{K}\|p(x_k) - p_d^k\|_{\mathbb C^N}^2 + \alpha \|u\|_{\mathbb C^N}\right)}

thỏa mãn điều kiện \boxed{-\omega^np_n - c^2\Delta p_n = u_n\delta_{x^*}} với n=1,2,\ldots, N.

Đây là bài toán điển hình để dẫn đến một lớp các bài toán trong điều khiển tối ưu đó là điều khiển tối ưu thưa (sparse optimal control) vốn đang rất được quan tâm trong thời gian gần đây.

Advertisements

About baotangquoc

Lecturer School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology No 1, Dai Co Viet Street, Hanoi
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s