Tính nửa liên tục trên của họ tập hút lùi cho phương trình phản ứng khuếch tán (On the upper semi-continuity of pullback attractors for reaction diffusion equations)

Được sử ủng hộ của ACE trong bài trước, mình đã có thêm động lực để viết tiếp bài này 😀

Hi vọng bài này sẽ dễ hình dung bài trước.

Xét phương trình truyền nhiệt trong miền bị chặn \Omega\subset \mathbb R^n

u_t -\Delta u + f(u) + \epsilon u = g(t), \epsilon >0           (1)

u(\tau) = u_\tau

u|_{\partial \Omega} = 0

Để ý rằng, khi \epsilon \rightarrow 0  ta có phương trình

v_t - \Delta v + f(v) = g(t)             (2)

v(\tau) = v_\tau

v|_{\partial \Omega} = 0

Giả sử với mỗi \epsilon>0, phương trình (1) có tập hút lùi A_\epsilon, và phương trình (2) có tập hút lùi A_0. Ta sẽ sử dụng kết quả tổng quát trong bài trước để chứng minh rằng:

họ \{A_\epsilon\}_{\epsilon\in[0,1]} là nửa liên tục trên tại \epsilon = 0

hoặc hiểu một cách đơn giản là

A_\epsilon \rightarrow A_0 khi \epsilon \rightarrow 0

Remark: Về mặt trực giác, có thể coi \epsilon u như là một sai số khi thiết lập phương trình (vì từ mô hình thực tế dựng thành mô hình toán bao giờ cũng có sai số). Vậy thì việc chứng minh tính liên tục trên của họ tập hút lùi cho ta thấy rằng phương trình có tính ổn định (theo một nghĩa nào đó) với sai số \epsilon u, có nghĩa là khi sai số \epsilon u là nhỏ thì ta có thể “yên tâm” làm việc trên phương trình có sai số mà không sợ kết quả bị sai lệch quá nhiều. (Đọc “hiệu ứng bươm bướm” – một con bướm đập cánh ở bên này châu lục có thể gây một trận bão ở phía bên kia châu lục – để thấy hơn ý nghĩa của vấn đề này).

(Cảnh báo! Bắt đầu từ đây đến hết bài sẽ rất khô khan, ngoại trừ những dòng chữ đỏ, 😀)

Nhắc lại kết quả của bài trước về tính nửa liên tục trên.

Định lý: Giả sử họ \{U_\epsilon(t,\tau)\}_{\epsilon\in[0,1]} có họ tập hút lùi tương ứng là \{A_\epsilon\}_{\epsilon\in[0,1]}. Khi đó họ tập hút lùi đó là liên tục tại \epsilon = 0 nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau

(i) với mọi t\in\mathbb R thì tập

\bigcup_{\epsilon \in (0,1]}A_\epsilon(t) là compact tương đối

(ii) với mọi t\in\mathbb R thì tập

\bigcup_{\tau\leq t}\bigcup_{\epsilon\in[0,1]}A_{\epsilon}(\tau) là tập bị chặn

(iii) với mọi t\geq \tau ta có

U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n \rightarrow U_0(t,\tau)y_0 với mọi \epsilon_n\rightarrow 0y_n \rightarrow y_0.

Giả thiết của bài toán: Để phương trình (1) và (2) có nghiệm và tồn tại tập hút lùi, ta phải có một số giả thiết liên quan đến số hạng phi tuyến f và ngoại lực g.

(H1) Hàm f\in C^1(\mathbb R; \mathbb R) thỏa mãn: tồn tại số p\geq 2 sao cho

\alpha(|u|^p - 1) \leq f(u)u \leq \beta(|u|^p+1) với mọi u\in \mathbb R

f'(u) \geq -\ell,

trong đó \alpha, \beta, \ell là các hằng số dương.

(H2) Ngoại lực g\in L^2_{loc}(\mathbb R; L^2(\Omega)) thỏa mãn

\int_{-\infty}^{t}e^{\lambda_1r}\|g(r)\|^2dr <+\infty với mọi t\in \mathbb R

với \lambda_1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử Laplace.

Có nhiều kết quả về sự tồn tại tập hút lùi cho phương trình (1) và (2), bạn đọc có thể tham khảo ở cuối bài.

Bài này tập trung vào chứng minh tính nửa liên tục trên của họ tập hút trong L^2(\Omega) lùi khi \epsilon\rightarrow 0. Muốn vậy, ta lần lượt kiểm tra các điều kiện (i) (ii) và (iii) ở trên.

Kiếm tra điều kiện (i).

\bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_{\epsilon}(t) là compact tương đối trong L^2(\Omega) với mọi t\in\mathbb R.

Đặt \chi = \bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_{\epsilon}(t). Chú ý rằng phép nhúng H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega) là compact, nên ta chỉ cần chứng minh \chi bị chặn trong H_0^1(\Omega).

Lưu ý rằng \{U_{\epsilon}(t,\tau)\} có một họ tập hấp thụ lùi \{B_\epsilon(t)\}. Hơn thế nữa

A_\epsilon(t) = \bigcap_{s\leq t}\overline{\bigcup_{\tau\leq s}U_\epsilon(t,\tau)B_\epsilon(\tau)}

Từ đó suy ra A_\epsilon(t)\subset B_\epsilon(t), vậy thì

\chi = \bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_\epsilon(t) \subset \bigcup_{\epsilon\in(0,1]}B_\epsilon(t).

Do đó, ta chỉ cần chứng minh các quá trình \{U_\epsilon(t,\tau)\} có chung tập hấp thụ lùi \{B(t)\} trong H_0^1(\Omega), với B không phụ thuộc vào \epsilon.

Việc chứng minh tồn tại tập hấp thụ lùi B như vậy là cơ bản nhưng dài dòng (vì tính toán nhiều) nên bạn đọc có thể tham khảo trong tài liệu phía dưới. Kết quả thu được: \{B(t)\} là họ các hình cầu đóng trong H_0^1(\Omega). Cụ thể hơn, B(t) là hình cầu tâm 0 bán kính r(t) với

r(t) = C\left(1+\int_{-\infty}^te^{-\lambda_1(t-r)}\|g(r)\|^2dr\right) với C là hằng số không phụ thuộc \epsilon.

Vậy, ta đã chứng minh được \chi\subset B(t) bị chặn trong H_0^1(\Omega), suy ra \chi là compact tương đối trong L^2(\Omega).

Kiếm tra điều kiện (ii).

Sử dụng kết quả trong điều kiện (i) ta có

\bigcup_{\tau\leq t}\bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_\epsilon(\tau) \subset \bigcup_{\tau\leq t}B(\tau).

Ta có, B(\tau) là hình cầu bán kính r(\tau), suy ra vế phải của biểu thức trên là hợp của các hình cầu có tâm 0 và bán kính là r(\tau) với \tau\leq t. Do đó, vế phải bị chặn khi và chỉ khi các bán kính r(\tau) không được phép tiến ra +\infty, hay nói cách khác,

\sup_{\tau\leq t}r(\tau) <+\infty

tương đương với

\sup_{\tau\leq t}\int_{-\infty}^{\tau}e^{-\lambda_1(\tau-r)}\|g(r)\|^2dr <+\infty          (H2bis).

Ta thấy rằng giả thiết (H2) không đủ đảm bảo để (H2bis) xảy ra, do đó, ở đây ta phải giả thiết thêm điều kiện (H2bis) cho g.

Với điều kiện thêm (H2bis), ta thấy ngay rằng điều kiện (ii) được thỏa mãn.

Kiếm tra điều kiện (iii).

Bây giờ ta kiểm tra điều kiện cuối cùng: Cho \epsilon_n\rightarrow 0, y_n\rightarrow y_0, ta cần chứng minh

U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n \rightarrow U_0(t,\tau)y_0 với mọi t\geq \tau

Đặt u_n(t) = U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_nv(t) = U_0(t,\tau)y_0 ta có

\partial_tu_n - \Delta u_n + f(u_n) + \epsilon_nu_n = g(t)                            (3)

u_n(\tau) = y_n

v_t - \Delta v + f(v) = g(t)                               (4)

v(\tau) = y_0

Trừ từng vế của (3) cho (4) rồi đặt w_n = u_n - v ta có

\partial_tw_n - \Delta w_n + f(u_n) - f(v) + \epsilon_nu_n = 0                              (5)

w_n(\tau) = y_n - y_0.

Nhân cả hai vế của (5) với w_n rồi lấy tích phân trên \Omega, ta được

\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|w_n\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|w_n\|_{H_0^1(\Omega)}^2 + \int_{\Omega}(f(u_n)-f(v))w_ndx + \epsilon\int_{\Omega}u_nw_ndx = 0 .                                     (6)

Sử dụng giả thiết (H1), ta có

\int_{\Omega}(f(u_n)-f(v))w_ndx = \int_{\Omega}f'(\theta)(u_n-v)wdx = \int_{\Omega}f'(\theta)|w_n|^2dx \geq -\ell\|w_n\|^2_{L^2(\Omega)}.

Áp dụng bất đẳng thức Young ta được

\epsilon_n\int_{\Omega}u_nw_ndx \leq \epsilon_n\|u_n\|_{L^2(\Omega)}\|w_n\|_{L^2(\Omega)}.

Thay hai kết quả trên vào (6) ta thu được

\frac{d}{dt}\|w_n\|_{L^2(\Omega)}^2 - 2\ell\|w_n\|_{L^2(\Omega)}^2 \leq 2\epsilon\|u_n\|_{L^2(\Omega)}\|w_n\|_{L^2(\Omega)}.

Nhân cả hai vế với e^{-2\ell t} rồi lấy tích phân từ \tau đến t ta được

\|w_n(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 \leq e^{2\ell(t-\tau)}\|w_n(\tau)\|_{L^2(\Omega)}^2 + 2\epsilon_n\int_\tau^te^{2\ell(t-s)}\|u_n(s)\|_{L^2(\Omega)}\|w_n(s)\|_{L^2(\Omega)}              (7)

Chú ý rằng \|w_n(\tau)\|_{L^2(\Omega)} = \|y_n - y_0\|_{L^2(\Omega)} \rightarrow 0 (theo giả thiết) và u_n, w_n bị chặn trong L^2(\tau,t; L^2(\Omega)) đều với \epsilon_n. Suy ra vế phải của (7) tiến về 0 khi n\rightarrow +\infty. Vậy ta có

\|w_n(t)\|_{L^2(\Omega)} \rightarrow 0

tức là

\|U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n - U_0(t,\tau)y_0\|_{L^2(\Omega)} \rightarrow 0.

Ta có thể kết thúc chứng minh ở đây.

1. Haitao Song, J. Diff. Eqns. (2010)

2. Y. Li and C. Zhong, Appl. Maths. Comp. (2007)

3. H. Song and H. Wu, J. Maths. Anal. Appl. (2007)

Advertisements

About baotangquoc

Lecturer School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology No 1, Dai Co Viet Street, Hanoi
This entry was posted in Attractors. Bookmark the permalink.

3 Responses to Tính nửa liên tục trên của họ tập hút lùi cho phương trình phản ứng khuếch tán (On the upper semi-continuity of pullback attractors for reaction diffusion equations)

  1. 59clc says:

    Sửa cho anh 1 vài lỗi chính tả:
    – Định lý: Họ \{U_\epsilon(t,\tau) \} ( thiếu ngoặc đơn). )
    – (H1): hằng số.

    Nhân tiện cho em hỏi một số thuật ngữ:
    – thanks to: ví dụ câu “Thanks to Theorem 1.1, we deduce that”;
    – well-posedness (t.ứ ill-posedness);
    – corresponding author.
    Mấy cái này tra từ điển chẳng thấy. Dựa vào ngữ cảnh, em có thể đoán được nghĩa nhưng hỏi anh cho chắc, hi.

    • baotangquoc says:

      Thanks em, anh đã sửa lại.

      Về các thuật ngữ:
      “Thanks to Theorem 1.1, we deduce that”: Dựa vào định lý 1.1, ta suy ra rằng…
      “Well-posedness”: Đặt đúng (nghiệm tồn tại, duy nhất và liên tục theo vế phải). (“ill-posedness” = không đặt đúng)
      “Corresponding author”: Tác giả tương ứng (Hiểu là tác giả chính sẽ liên hệ với Journal và Editor). Nói thêm một chút về cái này. Theo anh hiểu thì Corresponding author trong Y học hoặc Hóa học thì thường được hiểu là tác giả có đóng góp lớn nhất cho kết quả đó. Tuy nhiên, trong Toán thì hầu hết đơn giản chỉ là một người đại diện để liên lạc với tạp chí chứ không có phân biệt (và các công trình Toán học đồng tác giả cũng không bao giờ phân biệt ai làm nhiều, ai làm ít).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s