Về tính nửa liên tục trên của họ tập hút lùi (On the upper semi-continuity of a family of pullback attractors)

Hôm trước chịu khó ngồi viết bài mà không thấy ai comment gì cả? *Kể cả lỗi chính tả* Buồn ghê 😦 *Mong là bài này có cải thiện* Nội dung của bài này là trình bày về tính nửa liên tục trên của họ tập hút lùi. (Trình bày một cách tổng quát, một ví dụ cụ thể có lẽ sẽ để dành đến bài tiếp theo) Giả sử ta có một họ các quá trình \{U_\epsilon(t,\tau)\} với \epsilon \in [0,1], và tương ứng mới mỗi quá trình đó, ta có một tập hút lùi A_\epsilon = \{A_\epsilon(t): t\in\mathbb R\}. Ta nói, họ tập hút lùi \{A_\epsilon: \epsilon \in [0,1] là nửa liên tục trên tại \epsilon = 0 nếu

\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}dist(A_\epsilon(t), A_0(t)) = 0 với mọi t\in\mathbb R,

trong đó dist là nửa khoảng cách Hausdorff (đã trình bày trong bài trước). Có thể hiểu tính nửa liên tục trên như sau: Khi \epsilon \rightarrow 0 thì A_\epsilon(t) sẽ “chui vào” một lân cận bất kỳ của A_0(t). Làm thế nào để có được tính nửa liên tục trên của họ tập hút lùi? Bài này không có ý định nêu lên một định lý rồi chứng minh (thế thì sẽ buồn ngủ lắm), mà thay vào đó là một cách để đưa ra 1 điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên. Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử rằng, tồn tại t\in \mathbb R sao cho

dist(A_\epsilon(t), A_0(t)) \not\rightarrow 0 khi \epsilon \rightarrow 0.

Từ định nghĩa tập hút lùi, ta có A_\epsilon(t) là tập compact với mọi \epsilon \in [0,1], từ đó, suy ra với mỗi \epsilon >0 tồn tại x_\epsilon \in A_\epsilon(t) sao cho dist(A_\epsilon(t), A_0(t)) = dist(x_\epsilon, A_0(t)).

Bài tập 1. Chứng minh rằng nếu A, B là hai tập compact thì tồn tại x_0\in A sao cho

dist(A, B) = dist(x_0, B).

Vậy ta có

dist(x_\epsilon, A_0(t)) \not\rightarrow 0 khi \epsilon \rightarrow 0,

hay nói cách khác, tồn tại \delta >0, một dãy \epsilon_n\rightarrow 0 thỏa mãn

dist(x_{\epsilon_n}, A_0(t)) \geq \delta với mọi n\geq 1.

Để đơn giản, ta sẽ ký hiệu x_{\epsilon_n}x_n.

Nếu ta chứng minh được x_n (hoặc một dãy con) hội tụ mạnh đến y nào đó mà dist(y, A_0(t))<\delta thì chứng tỏ giả sử phản chứng là sai và ta có điều phải chứng minh.

Như vậy thì ta cần:

1/ Dãy \{x_n\} có dãy con hội tụ đến y

2/ dist(y, A_0(t)) <\delta.

Đối với 1/ ta lưu ý rằng x_n = x_{\epsilon_n}\in A_{\epsilon_n}(t) nên

\{x_n\} \subset \cup_{n\geq 1}A_{\epsilon_n}(t) \subset \cup_{\epsilon\in(0,1]}A_\epsilon(t).

Như vậy, nếu ta giả thiết

tập \bigcup_{\epsilon\in (0,1]}A_\epsilon(t) là compact tương đối                         (1)

ta sẽ có ngay \{x_n\} có một dãy con hội tụ đến y \in \bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_\epsilon(t). Không giảm tính tổng quát, ta giả sử x_n \rightarrow y.

Bây giờ ta cần 2/ là dist(y, A_0(t)) <\delta. Làm thế nào để có được điều đó????

Nhớ lại rằng, theo định nghĩa tập hút lùi A_0 thì với mọi tập bị chặn B, ta có

dist(U_0(t,\tau)B,A_(t)) \rightarrow 0 khi \tau\rightarrow -\infty

suy ra nếu \tau đủ nhỏ (hiểu là gần đến -\infty) thì ta sẽ có

dist(U_0(t,\tau)B, A_0(t))<\delta.

Như vậy, nếu ta chứng minh được y thuộc vào tập U_0(t,\tau)B với tập B nào đó và \tau gần -\infty thì mọi chuyện được giải quyết. Muốn làm điều đó, ta thử nhìn lại những gì ta đã có

x_n\in A_{\epsilon_n}(t), \forall n

x_n \rightarrow y

và ta cần

y\in U_0(t,\tau)B tức là y = U_0(t,\tau)z_0 với z_0\in B.

Sử dụng tính bất biến của tập hút lùi ta có U_{\epsilon_n}(t,\tau)A_{\epsilon_n}(\tau) = A_{\epsilon_n}(t) với mọi t\geq \tau. Như vậy thì

x_n \in A_{\epsilon_n}(t) = U_{\epsilon_n}(t,\tau)A_{\epsilon_n}(\tau)

suy ra tồn tại y_n\in A_{\epsilon_n}(\tau) sao cho x_n = U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n. Nhìn lại, thấy ta cần

U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n = x_n \rightarrow y = U_0(t,\tau)z_0 \in U_0(t,\tau)B

Nhớ rằng \{y_n\}\subset \bigcup_{n\geq 1}A_{\epsilon_n}(\tau) \subset \bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_{\epsilon}(\tau) là tập compact tương đối, theo điều kiện (1) ở trên, vì vậy, không giảm tổng quát, ta giả sử y_n\rightarrow z \in \bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_{\epsilon}(\tau). Bây giờ ta chọn tập B = \bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_\epsilon(\tau), lưu ý rằng ta cần tập B là bị chặn, và \tau được chọn bất kỳ, do đó, điều kiện thử hai là

\bigcup_{\tau\leq t}\bigcup_{\epsilon\in(0,1]}A_\epsilon(\tau) bị chặn với mọi t\in\mathbb R              (2).

Khi đó ta sẽ có

U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n \rightarrow yy_n \rightarrow z \in B,

trong khi ta cần

y = U_0(t,\tau)z_0 với z_0\in B.

Đến đây, ta thấy ngay là cần phải giả thiết điều gì. Đúng vậy, điều ta cần là

U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n\rightarrow U_0(t,\tau)z.

Cụ thể hơn, điều kiện thứ hai của chúng ta là, với mọi t\geq \tau ta có

U_\epsilon(t,\tau)y_{\epsilon} \rightarrow U_0(t,\tau)y_0 khi \epsilon \rightarrow 0y_\epsilon \rightarrow y_0               (3)

Như vậy, ta đã chứng minh được kết quả sau:

Định lý: Giả sử ta có họ quá trình \{U_\epsilon(t,\tau)\}_{\epsilon\in[0,1]} và họ các tập hút lùi tương ứng \{A_\epsilon: \epsilon\in[0,1]\}. Khi đó, họ \{U_\epsilon(t,\tau)\}_{\epsilon\in[0,1]} là nửa liên tục trên tại \epsilon = 0 nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn

(i) với mọi t\in \mathbb R thì tập

\bigcup\limits_{\epsilon\in (0,1]}A_\epsilon(t) compact tương đối

(ii) với mọi t\in\mathbb R thì tập

\bigcup\limits_{\tau\leq t}\bigcup\limits_{\epsilon\in (0,1]}A_\epsilon(\tau)

(iii) với mọi t\geq \tau, mọi dãy \epsilon_n\rightarrow 0 và mọi dãy y_n\rightarrow y_0, ta có

U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n \rightarrow U_0(t,\tau)y_0.

Advertisements

About baotangquoc

Lecturer School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology No 1, Dai Co Viet Street, Hanoi
This entry was posted in Attractors. Bookmark the permalink.

13 Responses to Về tính nửa liên tục trên của họ tập hút lùi (On the upper semi-continuity of a family of pullback attractors)

  1. Thang says:

    “Đến đây, ta thấy ngay là cần phải giả thiết điều gì. Đúng vậy, điều ta cần là

    $U_{\epsilon_n}(t,\tau)y_n\rightarrow U_0(t,\tau)z$.”

    Bị lỗi gì mà công thức ko render được Bảo ơi :))

  2. Bui Xuan Dieu says:

    chả hiểu zề! haizz

    • baotangquoc says:

      Bác cứ đùa em, bác là chuyên gia vấn đề này mà. À, nếu bác có nhã hứng thì em share admin permission, bác rảnh rỗi thì viết bài lên đây anh em mình cùng trao đổi cho đỡ buồn!

  3. chu loan says:

    a ơi, cái dòng giới hạn lim í em thấy nên cho epsilon xuống hẳn dưới lim anh ạ. Chỗ -theo điều kiện (1) ở trên-, : thừa dấu phảy sau dấu ngang a ạ:))
    p/s: a bảo có thể cm lỗi chính tả mà:)

    • baotangquoc says:

      Hehe. Cám ơn em, comment chém gió anh còn vui huống hồ là em góp ý chuẩn như vậy (chứng tỏ đã đọc :D)
      Giới hạn dưới lim anh đã chỉnh nhưng chưa biết sửa như thế nào (để hỏi ý kiến các sư phụ đã),
      Còn chỗ – theo điều kiện (1) ở trên – chắc anh quên bỏ dấu “,”. Sẽ sửa ngay 😀

      • chu loan says:

        hi.hình như là thêm \limits sau \lim a ạ:)

      • baotangquoc says:

        Anh đã sửa lại rồi. Em ơn em nhiều 😉

      • 59clc says:

        Thực ra không những với giới hạn mà với tổng với chỉ số, tích phân với cận,… hay đại loại thứ nào tương tự ta thêm vào \limits thì phần chỉ số sẽ nằm hẳn xuống dưới (lên trên). Nếu công thức căn giữa dòng thì thêm \limits sẽ đẹp hơn hẳn 🙂

  4. TaHeng Lee says:

    Wow bài này dễ hiểu hơn hẳn, à em viết về Toán tử đơn điệu cùng với hemicontinuous và demicontinuous đi???

    • baotangquoc says:

      Về Toán tử đơn điệu và hemicontinuity và demicontinuity em không rành lắm nên chưa dám viết đâu chị ạ (mà em biết chị yêu cầu làm gì rồi :D). Yêu cầu một nội dung khác đi chị!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s