Tập hút lùi

Bài này tập trung trình bày thế nào là tập hút lùi cho phương trình đạo hàm riêng. Các khái niệm cơ bản gồm có:

– Quá trình tiến hóa

– Tập hấp thụ lùi

– Tính compact tiệm cận lùi

– Tập hút lùi

1. Quá trình tiến hóa. Xét một ánh xạ U: \mathbb R\times \mathbb R\times X \rightarrow X. Khi đó, với mỗi t, s\in \mathbb R, ta có một ánh xạ U(t,s): X\rightarrow X. U được gọi là một quá trình tiến hóa trong một không gian (metric, Banach hay Hilbert) X nếu U thỏa mãn:

(i) với mọi t\in\mathbb R, U(t,t): X\rightarrow X là ánh xạ đồng nhất trong X, tức là U(t,t,x) = x, \forall x\in X.

(ii) Với mọi t\geq s\geq r ta có U(t,s)\circ U(s,r) = U(t,r).

Ngoài ra, quá trình tiến hóa này được gọi là liên tục nếu với mọi t\geq s, ánh xạ U(t,s) là liên tục trong X.

Remark: Đối với một phương trình đạo hàm riêng giá trị ban đầu có duy nhất nghiệm, ta có thể xác định được một quá trình tiến hóa như sau: U(t,\tau)u_\tau là nghiệm của phương trình tại thời điểm t với điều kiện ban đầu tại \tauu_\tau.

Bài tập 1. Chứng minh rằng cách xác định U như trên cho ta một quá trình tiến hóa.

2. Tập hấp thụ lùi. Một họ các tập bị chặn \{B(t):t\in \mathbb R\} được gọi là một tập hấp thụ lùi cho quá trình U nếu, với mọi t\in\mathbb R và mọi tập D\subset X là bị chặn, tồn tại một số \tau_0 thỏa mãn:

U(t,\tau)D\subset B(t), \forall \tau\leq\tau_0

Remark. Có thể hiểu đơn giản tập hấp thụ lùi như sau: Ta cố định thời điểm t\in \mathbb R và tập bị chặn D là tập chứa các điều kiện ban đầu. Nếu ta lùi thời điểm ban đầu \tau đủ xa (\tau\leq \tau_0) thì khi điều kiện ban đầu nằm trong tập D thì nghiệm tại thời điểm t sẽ nằm trong tập B(t).

Bài tập 2. Xem lại và so sánh với khái niệm tập hấp thụ cho nửa nhóm.

3. Tính compact tiệm cận lùi. Quá trình U được gọi là compact tiệm cận lùi nếu ta cố định t\in\mathbb R thì dãy \{U(t,\tau_n)x_n\} là compact tương đối (tức là trích ra được một dãy con hội tụ) trong X với mọi dãy \tau_n\rightarrow -\infty và mọi dãy bị chặn \{x_n\}.

Remark. Để ý rằng nếu U có một tập hấp thụ lùi thì \{U(t,\tau_n)x_n\} sẽ là dãy bị chặn. Thông thường thì không gian X là không gian Banach phản xạ, do đó từ tính bị chặn của \{U(t,\tau_n)x_n\} ta suy ra tính compact tương đôi yếu (nghĩa là trích ra được một dãy con hội tụ yếu). Từ đó, để chứng minh U là compact tiệm cận lùi, ta có thể chứng minh tính hội tụ yếu của dãy con thực chất là hội tụ mạnh.

Bài tập 3. Chứng minh khẳng định trong Remark: Nếu U có một tập hấp thụ lùi thì \{U(t,\tau_n)x_n\} là dãy bị chặn.

Bài tập 4. Hãy tìm các điều kiện để một dãy hội tụ yếu trở thành hội tụ mạnh.

4. Tập hút lùi. Đây là khái niệm trung tâm. Ta sẽ tìm hiều Thế nào là tập hút lùi?Điều kiện để tồn tại tập hút lùi?

Định nghĩa: Một họ tập \{A(t):t\in\mathbb R\} được gọi là tập hút lùi của quá trình U nếu:

(i) A(t) compact với mọi t\in\mathbb R;

(ii) \{A(t)\} bất biến đối với U, tức là

U(t,\tau)A(\tau) = A(t), \forall t\geq \tau

(iii) \{A(t)\} hút lùi các tập bị chặn, nghĩa là

dist(U(t,\tau)D, A(t)) \rightarrow 0 khi \tau\rightarrow -\infty

với mọi t\in\mathbb RD là tập bị chặn; trong đó dist là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập,

dist(A,B) = \sup_{x\in A}\inf_{y\in B}\|x-y\| với mọi A, B\subset X

Remark. Bằng cách so sánh ta có thể thấy ngay đây là một mở rộng của khái niệm của tập hút toàn cục. Điều kiện (ii) được hiểu là nếu điều kiện ban đầu tại thời điểm \tau nằm trong A(\tau) thì nghiệm tại thời điểm t sẽ nằm trong tập A(t). Điều kiện (iii) cho ta thấy, nếu lùi thời điểm ban đầu đủ xa (ra -\infty) thì nghiệm tại thời điểm t sẽ tiệm cận đến tập compact A(t).

Sau đây, ta sẽ đưa ra kết quả về sự tồn tại tập hút lùi của một quá trình U.

Định lý: Giả sử U là một quá trình liên tục trong X. Nếu U có một tập hấp thụ lùi \{B(t)\}U là compact tiệm cận lùi thì U sẽ có duy nhất một tập hút lùi \{A(t)\}.

Remark. Có thể thấy rằng, tập hút lùi sẽ tồn tại theo công thức sau:

Tập hút lùi = Quá trình liên tục + Tập hấp thụ lùi + Tính compact tiệm cận lùi.

Vì mỗi phương trình đạo hàm riêng có cấu trúc riêng biệt, do đó, việc chứng minh 3 tính chất trong công thức trên không giống nhau ở các phương trình khác nhau. Do đó, sự tồn tại tập hút lùi cho mỗi phương trình đạo hàm riêng lại là một bài toán ý nghĩa. Sự phong phú của các lớp phương trình đạo hàm riêng dẫn cho ta thấy được tính đa dạng của các vấn đề. Ta có thể hoàn toàn chọn được vấn đề có ý nghĩa và vừa sức!

Advertisements

About baotangquoc

Lecturer School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology No 1, Dai Co Viet Street, Hanoi
This entry was posted in Attractors. Bookmark the permalink.

5 Responses to Tập hút lùi

  1. 59clc says:

    Hi anh, em vừa ốm một trận ra trò 🙂 hôm nay mới khỏe hẳn và ra mạng được. Hôm qua vào blog anh thấy báo lỗi, chắc do mới đổi giao diện.

  2. 59clc says:

    Ở mục 1, với mỗi t,s\in \mathbb R, ta có ánh xạ U(t,s) đi từ $X\to X$ chứ anh.
    Ở mục 2, trong định nghĩa Pullback absorbing set hình như anh thiếu đk B(t) bị chặn.

  3. 59clc says:

    Em làm thử mấy bài tập xem mình có hiểu đúng không nhé 🙂

    Bài tập 1. Với cách xác định U như trên, đương nhiên (i) được thỏa mãn.
    Xét (ii), với mọi t\ge s\ge r ta có (U(t,s)\circ U(s,r))(x)=(U(t,s))(U(s,r)(x)) là nghiệm của PT tại thời điểm t với điều kiện ban đầu tại thời điểm sU(s,r)(x), mà tại s thì nghiệm của PT với đk ban đầu tại rx, nghĩa là (U(t,s))(U(s,r)(x)) chính là nghiệm của PT tại thời điểm t với đk ban đầu tại rx.\\

    Bài tập 2. Tập hấp thụ cho nửa nhóm là một tập bị chặn B_0 không phụ thuộc t (mà phụ thuộc thời điểm ban đầu t_0?). Còn tập hấp thụ lùi là một họ tập phụ thuộc t. Nhưng bản chất thì không khác nhau mấy, đều có tính chất hút nghiệm của PT (nửa nhóm).\\

    Bài tập 3. Nếu cố định t thì B(t) là tập bị chặn, kết hợp với U(t,\tau_n)x_n\subset B(t) khi \tau_n\to -\infty\{x_n\} bị chặn, suy ra \{U\}_n bị chặn.\\

    • baotangquoc says:

      Bài tập 1. Cách làm của em chỉ đúng khi PHƯƠNG TRÌNH CÓ DUY NHẤT NGHIỆM. Đó là lý do tại sao ban đầu anh phải giả thiết là phương trình có nghiệm duy nhất.
      Bài tập 2. Đối với nửa nhóm thì thời điểm ban đầu không quan trọng mà quan trọng là khoảng cách giữa thời điểm cuối và thời điểm đầu (t - t_0), do đó, người ta thường lấy điều kiện ban đầu tại 0.
      Bài tập 3. Chính xác. P.s. Sửa \{U\}_n thành \{U(t,\tau_n)x_n\}

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s