Về sự tồn tại của tập hút toàn cục (On the existence of global attractors)

Trong bài lần trước, ta đã biết được khái niệm tập hút toàn cục cho phương trình đạo hàm riêng ô-tô-nôm (từ nay sẽ viết là autonomous).

Trong bài này, ta sẽ tìm hiểu về điều kiện tồn tại tập hút cho nửa nhóm S(t).

Định lý: Giả sử S(t) là nửa nhóm liên tục trong H. Khi đó, nếu S(t) có một tập hấp thụ (absorbing set) B_0\subset H và tiệm cận compact (asymptotically compact) trong H thì tồn tại duy nhất một tập hút \mathcal A cho S(t). Hơn nữa, \mathcal A được xác định như sau:

A = \cap_{t\geq 0}{S(t)B_0}.

Ở đây, tính liên tục, tập hấp thụ và tính tiệm cận compact được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.  Nửa nhóm S(t) được gọi là liên tục trong H nếu với mỗi t\geq 0, ánh xạ S(t): H\rightarrow H là liên tục trong H.

Định nghĩa 2. Tập bị chặn B_0\subset H được gọi là tập hấp thụ của nửa nhóm S(t) nếu với mọi tập bị chặn B\subset H, tồn tại một số dương T_B thỏa mãn S(t)B \subset B_0 với mọi t\geq T_B.

Định nghĩa 3. Nửa nhóm S(t) được gọi là tiệm cận compact trong H nếu như với mọi dãy bị chặn \{x_n\}, mọi dãy số thực t_n \rightarrow +\infty, ta có dãy \{S(t_n)x_n\} là compact tương đối trong H.

Nhận xét:

  1. Tính liên tục của nửa nhóm S(t) được sử dụng để chứng minh tính bất biến của tập hút (S(t)\mathcal A = \mathcal A). Thông thường, tính liên tục này được suy ra từ tính đặt đúng của bài toán. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, khi không gian H đang xét trơn hơn không gian pha, thì tính liên tục của S(t) trong H là không được biết đến. Để giải quyết vấn đề này, năm 2006, Zhong et al  đã đưa ra khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh-đến-yếu (norm to weak continuous). Đây là khái niệm liên tục yếu hơn khái niệm liên tục thông thường, và áp dụng khá hiệu quả trong trường hợp tính liên tục thông thường không kiểm tra được.
  2. Sự tồn tại tập hấp thụ là bước làm thường là đơn giản (sự tồn tại tập hấp thụ, đôi khi được gọi là tính tán xạ của phương trình, ý nói rằng nghiệm của phương trình là bị chặn về toàn cục). Một bất đẳng thức rất hay được sử dụng trong bài toán này, đó là bất đẳng thức Gronwall: y'(t) + \lambda y(t) \leq c \Rightarrow y(t) \leq y(0)+ \frac{c}{\lambda}e^{-\lambda t}.
  3. Tính tiệm cận compact là bước cuối cùng, và dường như cũng là khó khăn nhất trong toàn bộ bài toán chứng minh sự tồn tại của tập hút. Có rất nhiều phương pháp để chứng minh. Theo hiểu biết của tác giả, trong bài này, xin giới thiệu một vài phương pháp tiếp cận để chứng minh tính tiệm cận compact của nửa nhóm S(t). Chú ý rằng mấu chốt của vấn đề nằm ở chỗ chứng minh tập \{S(t_n)x_n\} là compact tương đối ở trong H.
  • Phương pháp đầu tiên rất hay được sử dụng cho phương trình tán xạ mạnh (strongly dissipative equation). Đó là chứng minh S(t) có một tập hấp thụ B_0 nằm trong không gian XX nhúng compact vào H. Vì khi đó, từ tính hấp thụ của B_0 ta suy ra \{S(t_n)x_n\} bị chặn trong X, suy ra nó compact tương đối trong H (sử dụng tính nhúng compact).
  • Phương pháp thứ hai được sử dụng để chứng minh tính compact của S(t) trong L^p (p>2) khi đã biết tính compact của S(t) trong L^q (q<p). Ý tưởng của phương pháp này như sau: Một tập A compact tương đối trong L^p nếu nó compact tương đối trong L^q và với mọi \epsilon >0, tồn tại số M sao cho \int_{|u|\geq M}|u|^pdx \leq \epsilon, \forall u\in A. Về mặt trực quan, ta có thể hình dung rằng, ta chia A thành “hai phần”: phần thứ nhất là bị chặn (bởi số M), do tính compact tương đối trong L^q ta suy ra phần này cũng compact tương đối; phần thứ hai là phần lớn hơn M thì ta chứng minh tích phân của nó là nhỏ hơn \epsilon tùy ý.
  • Phương pháp thứ ba được gọi là phương pháp ô mê ga – compact (\omega-compact). Phương pháp này, được hiểu đơn giản như sau: Một tập A là compact trong không gian H nếu với mọi \epsilon >0 tồn tại không gian hữu hạn chiều H_m của H thỏa mãn P_m(A) bị chặn và \|(Id-P_m)u\|_{H}<\epsilon \forall u\in A. Ý tưởng của phương pháp này là chia không gian H thành hai phần, trong đó tập A bị chặn trong không gian hữu hạn chiều H_m nên hiển nhiên nó compact tương đối, còn lại phần bù của A thì rất nhỏ, từ đó suy ra tính compact tương đối trong H của A.
  • Phương pháp tiếp theo là phương pháp phương trình năng lượng (energy-equation), phương pháp này được đưa ra lần đầu tiên bởi John Ball (2004). Ý tưởng chính của phương pháp này là sử dụng năng lượng của phương trình để chứng minh tính hội tụ của chuẩn, kết hợp với tính hội tụ yếu (thường suy ra từ sự tồn tại tập hấp thụ vì nói chung không gian H là phản xạ) suy ra tính hội tụ mạnh của dãy \{S(t_n)x_n\}.
  • Ngoài ra còn một số phương pháp khác như kỹ thuật đánh giá đuôi của nghiệm (sẽ trình bày trong bài tới), kỹ thuật quỹ đạo \ell (\ell-tracjectory) (nghe qua mà chưa tìm hiểu được), vv..v..v…
Advertisements

About baotangquoc

Lecturer School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology No 1, Dai Co Viet Street, Hanoi
This entry was posted in Attractors. Bookmark the permalink.

One Response to Về sự tồn tại của tập hút toàn cục (On the existence of global attractors)

  1. baotangquoc says:

    Vừa đọc một bài của Rosa năm 1998. Có vẻ nhưng phương pháp phương trình năng lượng đã có từ khá lâu rồi. Nhưng vẫn chưa rõ đóng góp chính của John Ball đối với phương pháp này là gì.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s